De 37-procentregel, of wanneer je moet stoppen met zoeken

De zoektocht naar het ideaal eindigt meestal in een huwelijk met de eerste de beste.

— Ironisch aforisme

Het wiskundig ideale zoeken naar een partner begint met slecht nieuws: de eerste kandidaten moet je afwijzen, hoe goed ze ook zijn. Stel je honderd gesloten deuren voor. Achter elke deur staat een kandidaat, en je mag de deuren alleen om de beurt openen. Na het bekijken moet je die persoon voorgoed kiezen of voorgoed afwijzen. Teruggaan kan niet. Aan het eind moet je hoe dan ook iemand kiezen. Alle kandidaten hebben één gezamenlijke rangorde, die je bij de ontmoeting te weten komt. Hun volgorde is willekeurig. Onder die regels is de optimale strategie mooi. De eerste ongeveer 37 deuren dienen als verkenning. We kiezen niemand, maar onthouden het beste niveau. Daarna nemen we de eerste die alle geziene kandidaten overtreft. De kans om de absoluut beste te krijgen komt uit op diezelfde ongeveer 37 procent.

Dit is het secretaresseprobleem. In de populaire versie werd het een handleiding voor de liefde.

Het getal 1/e

Het verkenningsaandeel r geeft een mooi maximum bij r = 1/e, ongeveer 0,368. De beste kandidaat moet na het verkenningsstuk verschijnen; hem kiezen lukt wanneer de beste van de voorgaanden binnen dat stuk viel en de drempel bepaalde. Sommeren over de mogelijke posities levert het beroemde getal op. Belangrijker is de opzet zelf: een vooraf bekend aantal opties, een willekeurige volgorde, een onomkeerbare afwijzing, één gezamenlijke rangorde en het doel om het absolute maximum te bemachtigen. Het percentage hoort bij dat spel, niet bij de menselijke psyche.

Verander één regel en de strategie verandert mee.

Mensen stoppen eerder

In laboratoriumversies van het probleem zagen deelnemers een reeks relatieve rangen en moesten ze telkens beslissen of ze stopten of het risico namen op wat ze al gezien hadden. Zonder aanwijzing vonden ze snel de algemene vorm van de strategie: eerst een ijkpunt verzamelen, dan beslissen. De tweefasenlogica pakten mensen makkelijker op dan de precieze grens tussen de fasen.

In de experimenten van Daniel Seale en Amnon Rapoport werd er meestal eerder gestopt dan het wiskundige optimum. In de klassieke opzet kost het bekijken niets apart: de deelnemer betaalt alleen met het risico de beste optie te missen en zonder keuze achter te blijven. Een mens in het laboratorium draagt ook nog aandacht, tijd en de subjectieve prijs van doorgaan. Reken je die kosten mee, dan ziet vroeg stoppen er niet langer uit als een zuivere fout, maar als de oplossing van een ander probleem.

Bovendien is de omgeving van het optimum tamelijk vlak: een kleine verschuiving van de drempel verandert de slaagkans nauwelijks. De populaire versie presenteert die 37 procent als de code van een kluis, waar een paar kandidaten te veel je lot verwoesten. De wiskunde is streng voor de voorwaarden, maar betrekkelijk verdraagzaam tegenover naburige strategieën.

Het laboratorium scheidt het principe van zijn prijs. Mensen begrijpen de zet „eerst leren, dan kiezen”, en de lengte van het leren bepalen ze op grond van hun eigen kosten. Bij daten lopen die kosten bijzonder uiteen: een ontmoeting kan vermoeiend, duur, onveilig of aangenaam zijn, ongeacht de uitkomst. De optimale verkenning hangt net zozeer af van de zoekkosten als van de kans om het maximum tegen te komen.

Echte kennismakingen schenden bijna elke uitgangsvoorwaarde. Het aantal toekomstige kandidaten is onbekend, de volgorde wordt gesorteerd door school, beroep, buurt en vrienden, één gezamenlijke rangorde bestaat niet, naar een afgewezen kandidaat kun je soms terugkeren, en die kiest zelf ook. Meestal zoekt men niet de objectief beste van alle mensen, maar een voldoende goede wederzijdse verbintenis. Het secretaresseprobleem gaat ervan uit dat afgewezenen voorgoed verdwijnen; misschien beschrijft het daarom het aannemen van een secretaresse nauwkeuriger dan het leven van mensen die telefoonnummers weten te bewaren.

De mogelijkheid om terug te keren geeft vroege opties een optiewaarde. Kandidaten die met de tijd veranderen, kun je niet één keer rangschikken. En wanneer de kwaliteit van een relatie deels na de keuze ontstaat, bestaat er vóór de keuze überhaupt geen absolute rangorde. De 37-procentregel als levensinstructie overleeft die overplanting niet.

Nadat het heilige percentage is verdwenen, blijft de tweefasenlogica over. In het begin kent iemand zowel de verdeling van de opties als zijn eigen reacties slecht. Een paar ontmoetingen kalibreren de verwachtingen: wat komt vaak voor, welke eisen zijn zeldzaam, wat blijkt in levenden lijve belangrijk. Later daalt het rendement van de verkenning. Nog zo’n vergelijkbare ontmoeting verandert het beeld van de markt nauwelijks en dient steeds meer om de beslissing uit te stellen.

Hier behoudt het wiskundige probleem zijn heuristische betekenis: eerst is verkennen nuttig, daarna moet je overschakelen op kiezen. Zonder verkenning zijn de verwachtingen willekeurig; zonder de overschakeling naar kiezen wordt het zoeken een levensstijl.

Het doel verandert de strategie

De strategie verandert mee met het doel. Zoeken naar een willekeurige kandidaat uit de bovenste tien procent eindigt eerder dan de jacht op de enige beste. Een hoge prijs voor zonder keuze achterblijven verlaagt de drempel, de mogelijkheid tot terugkeer verzacht het afwijzen van vroege opties, dure kennismakingen bekorten de verkenning, en een systematisch veranderende omgeving heft de willekeurige volgorde op. In plaats van één percentage blijven zes variabelen over:

hoeveel mogelijkheden er ongeveer te verwachten zijn;

wat als een aanvaardbaar resultaat geldt;

of terugkeren mogelijk is;

wat de prijs is van doorzoeken;

in hoeverre nieuwe ontmoetingen het beeld van de verdeling nog veranderen;

wat er verloren gaat bij een te late keuze.

Uit de antwoorden komt geen getal dat voor iedereen hetzelfde is. Er komt een beslissing uit die met een concrete horizon samenhangt.

De strategie heeft genoeg aan relatieve vergelijkingen: een nieuwe optie wordt naast de beste van de al ontmoete gelegd. Dat beschermt tegen een slechte absolute schaal en maakt de beslissing afhankelijk van de kwaliteit van de verkenningssteekproef. Een smalle omgeving vormt een lage drempel en presenteert die als rationeel; een paar zeldzame sterke kennismakingen kunnen de verwachtingen te hoog opdrijven. De drempel leert alleen van de markt die hem is getoond.

De drempel begint met een controle van de verscheidenheid van de verkenning, niet met het aftellen van procenten. Tien gelijksoortige kennismakingen leveren minder informatie op dan vijf uit verschillende sociale kringen. Je bouwt hem verstandiger op vanuit inzicht in de spreiding van de opties, je eigen beperkingen en de prijs van doorgaan, dan vanuit het aantal afgewezen mensen. Na zo’n controle wordt het precieze getal bijzaak.

Een drempel die moet worden bijgewerkt

Een drempel die wordt bijgewerkt is nuttiger dan een vaste 37 procent. Op je twintigste kun je een breed bereik verkennen en je eigen smaak leren kennen; later heb je meer gegevens, maar andere termijnen en doelen. Een verhuizing vraagt om een nieuwe kalibratie. Een reeks mislukte relaties vraagt om een controle van de schaal zelf, niet om automatisch lagere eisen. In de drempel zit ook de wederkerigheid: iemand die de eerste plaats bezet en niet verder wil, staat niet tussen de beschikbare opties.

De 37-procentregel blijft prachtige wiskunde. Ze laat zien dat zoeken en kiezen verschillende modi zijn en dat eindeloos verkennen een prijs heeft. Alleen slaat dat percentage op een wereld waarin alle deuren vooraf geteld zijn, mensen in een willekeurige rij staan en niemand terugbelt.

Belangrijkste bronnen

Ferguson, T. S. (1989). Who solved the secretary problem? Statistical Science, 4(3), 282–289.

Seale, D. A., & Rapoport, A. (1997). Sequential decision making with relative ranks: An experimental investigation of the secretary problem. Organizational Behavior and Human Decision Processes, 69(3), 221–236.

Gilbert, J. P., & Mosteller, F. (1966). Recognizing the maximum of a sequence. Journal of the American Statistical Association, 61(313), 35–73.

Freeman, P. R. (1983). The secretary problem and its extensions: A review. International Statistical Review, 51(2), 189–206.