La règle des 37 pour cent, ou quand cesser de chercher

La quête de l’idéal finit d’ordinaire par un mariage avec le premier venu.

— Aphorisme ironique

La recherche mathématiquement optimale d’un partenaire commence par une mauvaise nouvelle : il faudra écarter les premiers candidats, aussi bons soient-ils. Imaginez cent portes fermées. Derrière chacune, un candidat, et vous ne pouvez ouvrir les portes que l’une après l’autre. Après l’examen, il faut soit choisir la personne pour toujours, soit refuser pour toujours. Impossible de revenir en arrière. À la fin, il faut obligatoirement choisir quelqu’un. Tous les candidats se rangent sur un classement unique, que vous découvrez lors de la rencontre. Leur ordre est aléatoire. Sous ces règles, la stratégie optimale est élégante. Les quelque 37 premières portes servent à l’exploration. On ne choisit personne, mais on retient le meilleur niveau. Ensuite, on prend le premier qui dépasse tous ceux qu’on a vus. La probabilité d’obtenir le meilleur en absolu s’établit autour de ces mêmes 37 pour cent.

C’est le problème du secrétaire. Dans sa version populaire, il est devenu un mode d’emploi pour l’amour.

Le nombre 1/e

La part d’exploration r atteint un joli maximum en r = 1/e, soit environ 0,368. Le meilleur candidat doit apparaître après le segment d’exploration ; on parvient à le choisir quand le meilleur des précédents se trouvait à l’intérieur de ce segment et y a fixé le seuil. La sommation sur les positions possibles conduit au fameux nombre. Ce qui compte davantage, c’est l’énoncé lui-même : nombre d’options connu d’avance, ordre aléatoire, refus irréversible, classement unique et objectif d’obtenir le maximum absolu. Le pourcentage appartient à ce jeu, pas au psychisme humain.

Il suffit de changer une seule règle pour que la stratégie change.

Les gens s’arrêtent plus tôt

Dans les versions de laboratoire du problème, les participants voyaient une suite de rangs relatifs et décidaient chaque fois de s’arrêter ou de renoncer à ce qu’ils avaient déjà vu. Sans indice, ils trouvaient vite la forme générale de la stratégie : d’abord se donner un repère, ensuite décider. La logique en deux phases, les gens la saisissaient plus facilement que la frontière exacte entre les phases.

Dans les expériences de Daniel Seale et Amnon Rapoport, l’arrêt survenait en général avant l’optimum mathématique. Dans l’énoncé classique, l’examen n’a pas de coût propre : le participant ne paie que le risque de manquer la meilleure option et de rester sans rien. L’humain de laboratoire, lui, engage en plus de l’attention, du temps et un coût subjectif de la poursuite. Une fois ces coûts intégrés, l’arrêt précoce cesse de ressembler à une pure erreur et devient la solution d’un autre problème.

Le voisinage de l’optimum est en outre assez plat : un léger déplacement du seuil change peu la probabilité de succès. La version populaire présente les 37 pour cent comme le code d’un coffre-fort, où quelques candidats de trop brisent un destin. Les mathématiques sont strictes sur les conditions, mais relativement tolérantes envers les stratégies voisines.

Le laboratoire sépare le principe de son prix. Les gens comprennent le mouvement « d’abord apprendre, ensuite choisir », et fixent la durée de l’apprentissage d’après leurs propres coûts. Dans les rencontres, ces coûts sont particulièrement inégaux : un rendez-vous peut être fatigant, cher, risqué ou agréable indépendamment du résultat. L’exploration optimale dépend du coût de la recherche autant que de la chance de rencontrer le maximum.

Les rencontres réelles enfreignent presque chacune des conditions de départ. Le nombre de candidats à venir est inconnu, l’ordre est trié par l’école, le métier, le quartier et les amis, il n’existe pas de classement unique, on peut parfois revenir vers quelqu’un qu’on a écarté, et lui aussi choisit. En général, on ne cherche pas le meilleur objectif parmi tous les humains, mais une union réciproque suffisamment bonne. Le problème du secrétaire suppose que les écartés disparaissent pour toujours ; c’est peut-être pour cela qu’il décrit mieux le recrutement d’un secrétaire que la vie de gens capables de garder des numéros de téléphone.

La possibilité d’un retour donne aux options précoces une valeur d’option. Des candidats qui changent avec le temps ne se classent pas une fois pour toutes. Et quand la qualité d’une relation se crée en partie après le choix, il n’existe tout simplement pas de classement absolu avant le choix. La règle des 37 pour cent, prise comme mode d’emploi de la vie, ne survit pas au transfert.

Une fois le pourcentage sacré évaporé, il reste la logique en deux phases. Au début, on connaît mal à la fois la distribution des options et ses propres réactions. Quelques rencontres calibrent les attentes : ce qui est fréquent, quelles exigences sont rares, ce qui compte vraiment en vrai. Plus tard, le rendement de l’exploration baisse. Une rencontre similaire de plus ne change presque rien à l’image du marché et sert de plus en plus à repousser la décision.

Ici, le problème mathématique conserve une valeur heuristique : il est d’abord utile d’explorer, ensuite il faut basculer vers le choix. Sans exploration, les attentes sont arbitraires ; sans bascule vers le choix, la recherche devient un mode de vie.

L’objectif change la stratégie

La stratégie change avec l’objectif. Chercher n’importe quel candidat des dix pour cent supérieurs s’achève plus tôt que la chasse à l’unique meilleur. Un coût élevé du fait de rester sans rien abaisse le seuil, la possibilité de revenir adoucit le refus des options précoces, des rencontres coûteuses raccourcissent l’exploration, et une évolution systématique du milieu annule l’ordre aléatoire. À la place d’un pourcentage unique, il reste six variables :

combien d’occasions on attend à peu près ;

ce qui compte comme résultat acceptable ;

si l’on peut revenir en arrière ;

quel est le prix de la poursuite de la recherche ;

dans quelle mesure de nouvelles rencontres modifient encore la compréhension de la distribution ;

ce qu’on perd si l’on choisit trop tard.

De ces réponses ne sortira pas un nombre identique pour tous. Il en sortira une décision liée à un horizon précis.

La stratégie se contente de comparaisons relatives : une nouvelle option est confrontée aux meilleures déjà rencontrées. Cela protège d’une mauvaise échelle absolue et rend la décision tributaire de la qualité de l’échantillon d’exploration. Un milieu étroit forme un seuil bas et le fait passer pour rationnel ; quelques rencontres rares et fortes peuvent gonfler les attentes. Le seuil n’apprend que sur le marché qu’on lui a montré.

Le seuil commence par un contrôle de la diversité de l’exploration, non par un décompte de pourcentages. Dix rencontres identiques apportent moins d’information que cinq issues de cercles sociaux différents. Il est raisonnable de le construire à partir de la compréhension de l’éventail des options, de ses propres contraintes et du prix de la poursuite, et non à partir du nombre de gens écartés. Après un tel contrôle, le chiffre exact devient secondaire.

Un seuil qui doit se mettre à jour

Un seuil révisable est plus utile que 37 pour cent figés. À vingt ans, on peut explorer un large éventail et découvrir son propre goût ; plus tard, on a plus de données, mais d’autres délais et d’autres objectifs. Un déménagement exige un nouvel étalonnage. Une série de relations ratées exige un examen de l’échelle elle-même, et non une baisse automatique des exigences. La réciprocité fait aussi partie du seuil : une personne qui occupe la première place et ne veut pas continuer ne figure pas parmi les options disponibles.

La règle des 37 pour cent reste de belles mathématiques. Elle montre que chercher et choisir sont deux régimes distincts et que l’exploration infinie a un prix. Simplement, le pourcentage se rapporte à un monde où toutes les portes sont comptées d’avance, où les gens font la queue dans un ordre aléatoire et où personne ne rappelle.

Sources principales

Ferguson, T. S. (1989). Who solved the secretary problem? Statistical Science, 4(3), 282–289.

Seale, D. A., & Rapoport, A. (1997). Sequential decision making with relative ranks: An experimental investigation of the secretary problem. Organizational Behavior and Human Decision Processes, 69(3), 221–236.

Gilbert, J. P., & Mosteller, F. (1966). Recognizing the maximum of a sequence. Journal of the American Statistical Association, 61(313), 35–73.

Freeman, P. R. (1983). The secretary problem and its extensions: A review. International Statistical Review, 51(2), 189–206.